سوالات فصل سوم ریاضی هشتم با جواب – تمرین های صفحه ۳۰ . ۳۱ . ۳۳ . ۳۴ . ۳۵ . ۳۷ . ۳۸ . ۳۹ . ۴۰ . ۴۱ . ۴۲ . ۴۳ . ۴۴ . ۴۵ فصل ۳ ریاضی کلاس هشتم

1- در صفحه به هر خطِّ شکستهٔ بسته، چندضلعی گفته می‌شود به شرط اینکه ضلع‌ها یکدیگر را قطع نکنند؛ مگر در رأس‌ها که دو ضلع به هم می‌رسند.

– شکل «ج» چندضلعی نیست؛ چون ضلع‌های آن یکدیگر را قطع کرده‌اند.

– شکل «و» چندضلعی نیست؛ چرا؟ چون خط بسته نیست.

– شکل «الف» هم چندضلعی نیست؛ چرا؟ چون خط شکسته نیست.

2- اگر در یک چندضلعی همهٔ ضلع‌ها با هم و همهٔ زاویه‌ها با هم مساوی باشند، می‌گوییم آن چندضلعی منتظم است.

از میان شکل‌های بالا، کدام شکل‌ها چندضلعی منتظم‌اند؟ ب – ه

3- یکی از شکل‌های بالا را انتخاب کنید؛ سپس دربارهٔ تعداد ضلع‌ها، زاویه‌ها، تساوی آنها و… توضیح دهید تا دوستتان شکلی را پیدا کند که انتخاب کرده‌اید.

سپس به توضیحات دوستتان گوش کنید و شکلی را پیدا کنید که او انتخاب کرده است.

1- یک ورق کاغذ پوستی روی مستطیل روبه رو قرار دهید و تصویر مستطیل را روی آن رسم کنید.

نوک مدادتان را روی مرکز دوران بگذارید و مانند شکل‌های زیر، کاغذ پوستی را 180 درجه حول مرکز دوران بچرخانید.

– آیا تصویر، روی شکل منطبق می‌شود؟ بله

2- شکل روبه‌رو مثلثی متساوی الاضلاع است. یک ورق کاغذ پوستی روی آن قرار دهید و مراحل فعّالیت (١) را تکرار کنید. آیا تصویر، روی شکل منطبق می‌شود؟ چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟

نکته: اگر مثلث را 180 درجه دوران دهیم و بر خودش منطبق شود نقطه، مرکز تقارن است.

3- در کدام یک از چندضلعی‌های منتظم زیر، نقطهٔ مشخص شده مرکز تقارن است؟

به نظر شما نُه ضلعی منتظم مرکز تقارن دارد؟ خیر

ده ضلعیِ منتظم چطور؟ بله

از این فعّالیت چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟ چند ضلعی‌های منتظم با اضلاع زوج، مرکز تقارن دارند.

4- یکی از راه‌های تشخیص اینکه نقطهٔ O در مثلث متساوی الاضلاع مرکز تقارن نیست، این است که می‌توان روی شکل، نقطه‌ای پیدا کرد که قرینهٔ آن نسبت به نقطهٔ O روی خود شکل قرار نگرفته باشد. مانند نمونه، نشان دهید که نقطهٔ O در دو شکل دیگر هم، مرکز تقارن نیست.

5- شکل‌های مقابل چگونگی پیدا کردن دوران یافتهٔ نقاط A و B و حول مرکز O  به اندازهٔ $۹۰{}^{}$ و $۳۵{}^{}$ در جهت عقربه‌های ساعت نشان می‌دهد.

کدام یک از شکل‌های فعّالیت (3) با دوران $۹۰{}^{}$ حول نقطهٔ مشخص شده در جهت عقربه‌های ساعت روی خودش می‌افتد؟

اگر خطی مانند $d_{۱}$، خطوط a و b را مانند شکل با زاویه‌های مساوی قطع کرده باشد، خط‌های a و b با هم موازیند.

به خط $d_{۱}$، خط مورب می‌گویند.

موازی بودن خط‌های a و b را به صورت $a||b$ نمایش می‌دهند.

هر خطی که دو خط موازی را قطع کند با آنها زاویه‌های مساوی می‌سازد.

1- اگر ${\hat{A}}_{۱}=۶۰{}^{}$ باشد، زاویه‌های خواسته شده را پیدا کنید و راه حل خود را توضیح دهید.

${\hat{A}}_{۳}=$$۱۲۰{}^{}$

چون مکمل زاویهٔ $A_{۱}$ است.

$۶۰{}^{}$${\hat{B}}_{۱}=$

زیرا زاویه‌های تند با هم مساویند.

$۶۰{}^{}$${\hat{B}}_{۲}=$

چون با زاویهٔ $B_{۱}$ متقابل به رأس است.

$۱۲۰{}^{}$${\hat{B}}_{۳}=$

چون مکمل $B_{۲}$ است.

2- خط $d_{۲}$ را بر a عمود کنید و ادامه دهید تا خط b را قطع کند. چرا $d_{۲}$ بر b هم عمود است؟

چون با یکی از خط موازی زاویهٔ 90 درجه می‌سازد، با دیگری هم زاویه 90 درجه می‌سازد.

3- خط $d_{۳}$ با خط b زاویهٔ $۷۰{}^{}$ ساخته است. خط $d_{۳}$ با خط a چه زاویه‌ای می‌سازد؟ 70 درجه

4- دو خط a و b با هم موازی‌اند و خط $d_{۱}$ مورب است؛ پس زاویه‌های $A_{۱}$ و $B_{۱}$ با هم مساوی‌اند. این مطلب را به صورت زیر نشان می‌دهیم.

$d_{۱})\Rightarrow {\hat{A}}_{۱}={\hat{B}}_{۱}$ مورب و $(a||b$

چرا $A_{۱}$ و $B_{۲}$ مکمل‌اند؟

اگر خط a را روی صفحه انتقال دهیم تا روی b گیرد و نقطهٔ A روی B بیفتد، زاویهٔ $A_{۱}$ روی کدام زاویه قرار می‌گیرد؟

چگونه از این طریق می‌توان توجیه کرد که زاویهٔ $A_{۱}$ و زاویهٔ $B_{۲}$ مکمل یکدیگرند؟ توضیح دهید.

اگر در رابطه (2) به جای $B_{۱}$، $A_{۱}$ را قرار دهیم، خواهیم داشت:

$\begin{array}{c}۱)\begin{array}{c}\end{array}{A}_{۱}=B_{۱}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\end{array}& \end{array}\\ ۲)\begin{array}{c}\end{array}{B}_{۱}+B_{۲}={۱۸۰}^{{}^{}}\end{array}\}\Rightarrow A_{۱}+B_{۲}={۱۸۰}^{{}^{}}$

1- می‌خواهیم در صفحهٔ شطرنجی خطی موازی خط d رسم کنیم. راه حل سه دانش آموز را مشاهده کنید و توضیح دهید هرکدام از آنها چگونه خط موازی را رسم کرده است.

با خط‌کش

با انتقال

با استفاده از طول بردار

2- عمود بودن دو خط را با علامت گذاری آنها مشخص می‌کنیم و عبارت «خط $l_{۱}$ بر خط $l_{۲}$ عمود است» را به صورت $l_{۱}\perp l_{۲}$ می‌نویسیم.

مانند نمونه برای هر کدام شکل بکشید و جاهای خالی را پر کنید.

الف)

$\begin{array}{c}a\perp b\\ a\perp c\end{array}\}\Rightarrow b||c$

دو خط عمود بر یک خط با هم موازیند

ب)

$k\perp g$$\begin{array}{c}g||h\\ k\perp h\end{array}\}\Rightarrow$

اگر خطی بر یکی از دو خط موازی عمود شود بر دیگری هم عمود است

ج)

$e||f$$\begin{array}{c}d||e\\ d||f\end{array}\}\Rightarrow$

دو خط موازی با یک خط با هم موازیند

3- در هر متوازی الاضلاع، ضلع‌های روبه رو باهم موازی‌اند. چهارضلعی $ABCD$ یک متوازی الاضلاع است.

الف) ضلع‌های موازی را با علامت گذاری مشخص کنید.

ب) جاهای خالی را در رابطه‌های زیر کامل کنید.

$A_{۲}=D_{۲}$ و $A_{۱}=D_{۱}$$AB||DC)\Rightarrow$ و $AD$ مورب)

$D_{۲}=C_{۲}$ و $D_{۱}=C_{۱}$$AD||BC)\Rightarrow$ و $DC$ مورب)

$B_{۲}=C_{۲}$ و $B_{۱}=C_{۱}$$AB||DC)\Rightarrow$ و $BC$ مورب)

$A_{۲}=B_{۲}$ و $A_{۱}=B_{۱}$$AD||BC)\Rightarrow$ و $AB$ مورب)

چهارضلعی‌ای که ضلع‌های روبه روی آن دو به دو با هم موازی‌اند، متوازی الاضلاع نام دارد.

1- متوازی الاضلاعی را رسم، و مانند شکل نام گذاری کنید.

یک ورق کاغذ پوستی روی آن بگذارید و تصویر متوازی الاضلاع را رسم کنید.

نوک مدادتان را روی نقطهٔ O (محل برخورد قطر‌ها و مرکز تقارن شکل) قرار دهید و مانند شکل‌های زیر، تصویر را 180 درجه حول این نقطه بچرخانید تا بر شکل منطبق شود.

2- با توجه به انطباق شکل و تصویر، تساوی‌ها را کامل کنید.

$C$$\hat{A}=$

$D$$\hat{B}=$

$CD$$\overline{AB}=$

$AD$$\overline{BC}=$

هر یک از عبارت‌های زیر، یکی از خاصیت‌های متوازی الاضلاع را بیان می‌کند. با توجه به تساوی‌های بالا، این دو عبارت را کامل کنید.

در هر متوازی الاضلاع، زاویه‌های رو به رو مساوی‌اند.

در هر متوازی الاضلاع، ضلع‌های رو به رو مساوی‌اند.

در هر متوازی الاضلاع، زاویه‌های مجاور مکمل‌اند.

3- پاره خط OA بر کدام پاره خط منطبق شده است؟ OC

پاره خط OB چطور؟ OD

با توجه به پاسخ این دو پرسش، یک خاصیت دیگر متوازی الاضلاع را پیدا کنید و بنویسید.

در هر متوازی الاضلاع، قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند.

1- با توجه به تعریف متوازی الاضلاع، کدام یک از شکل‌های زیر متوازی الاضلاع است؟

الف – ج – ه – ط

2- در اینجا چند چهارضلعی دیگر هم تعریف شده است. هر تعریف را بخوانید و از میان چهارضلعی‌های فعّالیت قبل، مثال‌هایی برای هریک پیدا کنید.

مستطیل متوازی الاضلاعی است که زاویه‌های قائمه دارد. ج، ه

لوزی متوازی الاضلاعی است که چهار ضلع آن برابرند. ه

مربع متوازی الاضلاعی است که چهار ضلع مساوی و زاویه‌های قائمه دارد. الف، ه

3- می‌دانیم که «در هر متوازی الاضلاع، قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند.»

آیا می‌توانیم نتیجه بگیریم که «در هر لوزی هم قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند»؟ چرا؟

بله؛ چون هر لوزی، متوازی‌الاضلاع است.

1- در کاشی کاری، کاشی‌ها را طوری کنار هم قرار می‌دهند که روی هم نیفتند و جای خالی هم بین آنها نباشد. در اینجا چند نمونه کاشی کاری را مشاهده می‌کنید که هر کدام تنها با یک نوع کاشی انجام شده است.

حالا به شکل‌های زیر توجه کنید. در هر مورد توضیح دهید، چرا کاشی کاری با یک نوع کاشی انجام نمی‌شود؟

چون بین آن‌ها جای خالی وجود دارد.

2- سطح زیر با مثلث‌هایی هم نهشت با مثلث ABC کاشی کاری شده است.

مثلث آبی انتقال یافته مثلث ABC است،

مثلث زرد دوران یافته مثلث ABC است.

زاویه‌های متناظر با هریک از زاویه‌های مثلث ABC را در این دو مثلث مشخص کنید.

در کاشی کاری بالا، قسمتی را که نشان می‌دهد $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=۱۸۰{}^{}$ پیدا کنید.

$C_{۱}+C_{۲}+C_{۳}=۱۸۰{}^{}$

$B=D_{۳}=C_{۳}$

$A_{۱}=C_{۲}=D_{۱}$

$C_{۱}=A_{۲}=E_{۲}$

زاویه‌هایی که درون یک چندضلعی قرار دارند، زاویه‌های داخلی آن چندضلعی نامیده می‌شوند. مجموع زاویه‌های داخلی یک مثلث 180 درجه است.

جدول بالا نشان می‌دهد که مجموع زاویه‌های داخلی یک چهارضلعی با مجموع زاویه‌های داخلی دو تا مثلث برابر است؛ پس مجموع زاویه‌های داخلی هر چهارضلعی $۳۶۰{}^{}$ می‌شود.

الف) با کامل کردن جدول، مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی‌های دیگر را به دست آورید.

تعداد مثلث‌ها $۷-۲=۵$

ب) فکر می‌کنید مجموع زاویه‌های داخلی یک هفت ضلعی چند درجه است؟

$۵\times ۱۸۰=۹۰۰$

تعداد مثلث‌ها $۸-۲=۶$

یک هشت ضلعی چطور؟ چرا؟

$۶\times ۱۸۰=۱۰۸۰$

ج) عبارت جبری زیر را طوری کامل کنید که نشان دهنده مجموع زاویه‌های داخلی یک n ضلعی باشد.

$\times ۱۸۰{}^{}$(2 – n) = مجموع زاویه‌های داخلی یک n ضلعی

اکنون با کامل کردن جدول زیر اندازهٔ هر یک از زاویه‌های داخلی چندضلعی‌های منتظم را پیدا کنید.

یک عبارت جبری بنویسید که نشان دهندهٔ اندازهٔ هر یک از زاویه‌های یک n ضلعی باشد.

$\frac{(n-۲)\times ۱۸۰}{n}$